Question

（2012•蚌埠模拟）某同学对函数f（x）=xcosx进行研究后，得出以下四个结论：
①函数y=f（x）的图象是中心对称图形；
②对任意实数x，|f（x）|≤|x|均成立；
③函数y=f（x）的图象与x轴有无穷多个公共点，且任意相邻两公共点间的距离相等；
④函数y=f（x）的图象与直线y=x有无穷多个公共点，且任意相邻两公共点间的距离相等；
其中所有正确结论的序号是

①②④

．

Answer 1

分析：①判定函数为奇函数，可得函数y=f（x）的图象是中心对称图形；
②对任意实数x，|f（x）|=|xcosx|≤|x|；
③令f（x）=xcosx=0，可求方程的解，从而可得函数y=f（x）的图象与x轴有无穷多个公共点，且任意相邻两公共点间的距离不相等；
④令f（x）=xcosx=x，可求方程的解，从而可得函数y=f（x）的图象与x轴有无穷多个公共点，且任意相邻两公共点间的距离相等．

解答：解：①以-x代x，可得f（-x）=（-x）cos（-x）=-xcosx=-f（x），∴函数为奇函数，∴函数y=f（x）的图象是中心对称图形，故①正确；
②对任意实数x，|f（x）|=|xcosx|≤|x|，∴对任意实数x，|f（x）|≤|x|均成立，故②成立；
③令f（x）=xcosx=0，∴x=0或cosx=0，∴x=0或x=kπ+

π

2

，（k∈Z），故函数y=f（x）的图象与x轴有无穷多个公共点，且任意相邻两公共点间的距离不相等，故③不成立；
④令f（x）=xcosx=x，∴cosx=1，∴x=0或x=kπ，（k∈Z），故函数y=f（x）的图象与x轴有无穷多个公共点，且任意相邻两公共点间的距离相等，故④成立；
故正确结论的序号是①②④．

点评：本题考查函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．