【题目】如图1所示,在等腰梯形中, .把沿折起,使得,得到四棱锥.如图2所示.
(1)求证:面面;
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)先由平面几何知识证明,可得面,从而得,进而可得,于是面,最后由面面垂直的判定定理可得结论;(2)以点为原点,以所在直线分别为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,分别求出两半平面的一个法向量,根据空间向量夹角余弦公式可得结果.
试题解析:(1)证明:在等腰梯形中,可知.因为,可得.
又因为,即,则.
又,可得面,故.
又因为,则,
,则,
所以,
又,所以面,
又面,所以面面;
(2)
设,过点作交于点,
以点为原点,以所在直线分别为轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
在中,∵, ,
∴,则,
∵,
∴,则,
∵,
∴,
∴,
∴,
设平面的法向量为,
由,得,
取,可得平面的法向量为,
设平面的一个法向量为,
由,得,
取,可得平面的一个法向量为.
设平面与平面所成锐二面角为,
则,
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线的顶点是原点,以轴为对称轴,且经过点.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)设点, 在抛物线上,直线, 分别与轴交于点, , .求直线的斜率.
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【题目】为了了解高三学生的数学成绩,抽取了某班60名学生,将所得数据整理后,画出如图所示的频率分布直方图,已知从左到右各长方形高的比为2:3:5:6:3:1,则该班学生数学成绩在[100,120]之间的学生人数是( )
A.32
B.24
C.18
D.12
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【题目】已知f(α)= .
(1)若α为第二象限角且f(α)=﹣ ,求 的值;
(2)若5f(α)=4f(3α+2β).试问tan(2α+β)tan(α+β)是否为定值(其中α≠kπ+ ,α+β≠kπ+ ,2α+β≠kπ+ ,3α+2β≠kπ+ ,k∈Z)?若是,请求出定值;否则,说明理由.
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【题目】某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计,绘制了频率分布直方图(如图所示),规定80分及以上者晋级成功,否则晋级失败(满分为100分).
(1)求图中的值;
(2)估计该次考试的平均分(同一组中的数据用该组的区间中点值代表);
(3)根据已知条件完成下面列联表,并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关?
(参考公式: ,其中)
0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
0.780 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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【题目】设圆的圆心为,直线过点且不与轴、轴垂直,且与圆于, 两点,过作的平行线交直线于点.
(1)证明为定值,并写出点的轨迹方程;
(2)设点的轨迹为曲线,直线交于两点,过且与垂直的直线与圆交于两点,求与的面积之和的取值范围.
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【题目】(本小题满分12分)
某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如表所示:
产品 | 甲产品 | 乙产品 | 资源限额 |
煤(t) | 9 | 4 | 360 |
电力(kw·h) | 4 | 5 | 200 |
劳力(个) | 3 | 10 | 300 |
利润(万元) | 7 | 12 |
问:每天生产甲、乙两种产品各多少吨,获得利润总额最大?
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