Question

【题目】如图，三棱锥的三个侧面均为边长是的等边三角形， ， 分别为， 的中点．

（I）求的长．

（II）求证： ．

（III）求三棱锥的表面积．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)详见解析;(3) .

【解析】试题分析:(1) 连接， ，等边中， ， ，同理可得，等腰中， ， ;(2)由线面垂直的判定定理证明平面，则;(3) 三棱锥的三个侧面均为边长为的等边三角形，底面仍为边长为的等边三角形，分别求出各面的面积求和即三棱锥的表面积.

试题解析:

（I）连接， ，

∵在等边中，

是边上中点，

∴，

，

同理可得，

在等腰中，

为边上中点，

∴，

∴．

（II）证明：∵， ，

点，

、平面，

∴平面，

∴．

（III）∵三棱锥的三个侧面均为边长为的等边三角形，

则底面中， ，

∴底面仍为边长为的等边三角形，

∴表面积．