Question

设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，函数g（x）与f（x）的图象关于y轴对称，且当x∈（0，1）时，g（x）=lnx-ax²．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对于区间（0，1）上任意的x，都有|f（x）|≥1成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先利用函数g（x）与f（x）的图象关于y轴对称得：f（x）的图象上任意一点P（x，y）关于y轴对称的对称点Q（-x，y）在g（x）的图象上；然后再利用x∈[-1，0）时，-x∈（0，1]，则f（x）=g（-x）求出一段解析式，再利用定义域内有0，可得f（0）=0；最后利用其为奇函数可求x∈（0，1]时对应的解析式，综合即可求函数f（x）的解析式；
（2）先求出f（x）在（0，1]上的导函数，利用其导函数求出其在（0，1]上的单调性，进而求出其最大值，只须让起最大值与1相比即可求出实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵g（x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称，
∴f（x）的图象上任意一点P（x，y）关于y轴对称的对称点Q（-x，y）在g（x）的图象上．
当x∈[-1，0）时，-x∈（0，1]，则f（x）=g（-x）=ln（-x）-ax²．（2分）
∵f（x）为[-1，1]上的奇函数，则f（0）=0．（4分）
当x∈（0，1]时，-x∈[-1，0），f（x）=-f（-x）=-lnx+ax²．（6分）
∴f（x）=

ln(-x)-ax2(-1≤x＜0) 0  (x=0) -lnx+ax2(0＜x≤1)

（7分）
（2）由（1）知，f'（x）=-

1

x

+2ax．
①若f'（x）≤0在（0，1]恒成立，则-

1

x

+2ax≤0?a≤

1

2x2

．
此时，a≤

1

2

，f（x）在（0，1]上单调递减，f（x）_min=f（1）=a，
∴f（x）的值域为[a，+∞）与|f（x）|≥1矛盾．（11分）
②当a＞

1

2

时，令f'（x）=-

1

x

+2ax=0?x=

1 2a

∈（0，1]，
∴当x∈（0，

1 2a

）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（

1 2a

，1]时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）_min=f（

1 2a

）=-ln

1 2a

+a( 

1 2a )

2=

1

2

ln2a+

1

2

．
由|f（x）|≥1，得

1

2

ln2a+

1

2

≥1?≥

e

2

．（15分）
综上所述，实数a的取值范围为a≥

e

2

．（16分）

点评：本题主要考查函数恒成立问题以及函数解析式的求解及常用方法和奇偶函数图象的对称性，是对函数知识的综合考查，属于中档题．