Question

有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P（万元）和Q（万元），它们与投入资金x（万元）的关系有经验公式：P=

x

5

，Q=

4

5

x

．今有5万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得最大利润是多少？

Answer 1

分析：设投入乙种商品投资x万元，则对甲种商品投资（5-x）万元，利用题中P与Q的关系，即可列出利润y与x之间的关系式y=

1

5

(5-x)+

4

5

x

，再利用换元法，令t=

x

，将函数转化为二次函数，利用二次函数的性质，即可确定最值，从而求得答案．

解答：解：设对乙种商品投资x万元，则对甲种商品投资（5-x）万元，总利润为y万元，
∴根据题意得，y=

1

5

(5-x)+

4

5

x

（0≤x≤5），
令t=

x

，
∴x=t²，且0≤t≤

5

，
∴y=

1

5

(5-t2)+

4

5

t=-

1

5

(t-2)2+

9

5

，（0≤t≤

5

）
∴当t=2时，ymax=

9

5

，此时x=4，5-x=1，
∴为获得最大利润，对甲、乙两种商品投资分别为1万元和4万元，获得的最大利润为1.8万元．

点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．本题建立了数学模型后，运用换元法转化成二次函数的最值问题．属于中档题．