Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两准线间距离为6，离心率e=

3

3

．过椭圆上任意一点P，作右准线的垂线PH（H为垂足），并延长PH到Q，使得

PH

=λ

HQ

(λ＞0)．F₂为该椭圆的右焦点，设点P的坐标为（x₀，y₀）．
（1）求椭圆方程；
（2）当点P在椭圆上运动时，求λ的值使得点Q的轨迹是一个定圆．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两准线间距离为6，离心率e=

3

3

，建立方程组，求得几何量，从而扩大椭圆的方程；
（2）利用向量知识，确定P的坐标，结合椭圆方程，利用点Q的轨迹是一个定圆，即可求λ的值．

解答：解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两准线间距离为6，离心率e=

3

3

，
∴

2a2 c =6 c a = 3 3

，∴a=

3

，c=1，∴b=

a2-c2

=

2

∴所求椭圆方程为

x2

3

+

y2

2

=1…（6分）
（2）设Q的坐标为（x，y），H（3，y₀），∴y=y₀．
∵

PH

=λ

HQ

(λ＞0)，∴3-x₀=λ（x-3），∴x₀=3λ+3-λx…（9分）
又∵

x02

3

+

y02

2

=1，∴

(3λ+3-λx)2

3

+

y2

2

=1，即

(x- 3λ+3 λ )2

3 λ2

+

y2

2

=1…（12分）
∴当且仅当

3

λ2

=2，即λ=

6

2

时，点Q在定圆(x-3-

6

)2+y2=2上．…（15分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．