为响应国家扩大内需的政策.某厂家拟在2014年举行促销活动.经调查测算.该产品的年销量x万件与年促销费用t万元满足x=7-kt+1．如果不搞促销活动.则该产品的年销量只能是1万件．已知2014年生产该产品的固定投入为6万元.每生产1万件该产品需要再投入12万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2014年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用t（t≥0）万元满足x=7-

t+1

（k为常数）．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2014年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）．
（1）将该厂家2014年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；并求年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？
（2）若规定年促销费用不能超过2万元，则年产量为多少时，厂家利润最大？最大利润为多少？

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数最值的应用

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）先求出k的值，再根据产品成本包括固定投入和再投入两部分，可得该厂家2013年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；即有y=45-

t+1

-t=45-(

t+1

+t+1)+1，利用基本不等式，可求该厂家2014年的厂家利润最大．
（2）运用导数求得函数y在0＜t≤2为减函数，则当t=2时，x=5，y最大且为31．

解答： 解：（1）由题意有1=7-

，得k=6，故x=7-

t+1

．
故y=1.5×

6+12x

×x-（6+12x）-t，
=3+6x-t=3+6(7-

t+1

)-t=45-

t+1

-t（t≥0）．
即有y=45-

t+1

-t=45-(

t+1

+t+1)+1，
由基本不等式得，

t+1

+t+1≥2

=12，
当且仅当

t+1

=t+1，即t=5时等号成立．
故y=45-

t+1

-t=45-(

t+1

+t+1)+1=46-(

t+1

+t+1)≤46-12=34，
当且仅当t=5时，y有最大值34，
所以2014年的年促销费用投入5万元时，该厂家利润最大，最大利润为34万元．
（2）由y=45-

t+1

-t=45-(

t+1

+t+1)+1，且0＜t≤2，
则y′=

(t+1)2

-1＜0，即y为减函数，则当t=2时，x=5，y最大且为31．
则年产量为5万件时，厂家利润最大，最大利润为31万元．

点评：本题考查函数模型的建立，考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，属于中档题．

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