Question

（2009•长宁区一模）设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n-tS_n-1=n（n≥2，n∈N^*，t为常数t≠0），且a₁=1．
（1）当t=2时，求a₂和a₃；
（2）若数列{a_n+1}是等比数列，求常数t的值；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n关于t的表达式．

Answer 1

分析：（1）将t=2代入，只需利用已知条件表达出S₁，S₂，S₃ 即可求得a₂和a₃；
（2）问中通过写出两个关系式，再相减易得a_n-ta_n-1=1，这个递推式明显是一个构造新数列的模型，从而利用{a_n+1}是等比数列，求出t的值；
（3）在（2）的基础上构造等比数列模型，再利用等比数列的求和公式，即可求得，应注意分类讨论．

解答：解：（1）因为t=2及S_n-tS_n-1=n，得S_n-2S_n-1=n，所以（a₁+a₂）-2a₁=2且a₁=1
，解得a₂=3
同理（a₁+a₂+a₃）-2（a₁+a₂）=3，解得a₃=7
（2）当n≥3时，S_n-tS_n-1=n，得S_n-1-tS_n-2=n-1两式相减得：a_n-ta_n-1=1（**）（6分）
即a_n+1=ta_n-1+2
当t=0时，a_n+1=2显然{a_n+1}是等比数列（7分）
当t≠0时，令b_n=a_n+1，可得b_n=tb_n-1+2-t
因为{a_n+1}是等比数列，所以{b_n}为等比数列，
当n≥2时，b_n+1b_n-1=b_n²恒成立，（8分）
即 [tbn+(2-t)]-

bn- (2-t)

t

=

b

2 n

恒成立，
化简得（t-2）（t+1）b_n-（2-t）²=0恒成立，
即

(t-2)(t+1)=0 (2-t)2=0

，解得t=2
综合上述，t=0（舍）或t=2（9分）
（3）当t=1时，由（**）得a_n-a_n-1=1
数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以 Sn=

n(n+1)

2

（10分）
当t≠1时，由（**）得a_n=ta_n-1+1
设a_n+k=t（a_n-1+k）（k为常数）
整理得a_n=ta_n-1+（t-1）k
显然 k=

1

t-1

（12分）
所以 an+

1

t-1

=t(an-1+

1

t-1

)
即数列 {an+

1

t-1

}是以 1+

1

t-1

为首项，t为公比的等比数列
所以 an+

1

t-1

=(1+

1

t-1

)tn-1，
即 an=

t

t-1

tn-1-

1

t-1

所以 Sn=

tn+1+(1-t)n-t

(1-t)2

所以 Sn=

n(n+1) 2 (t=1) tn+1+(1-t)n-t (1-t)2 (t≠1)

（16分）

点评：根据题设特征恰当地构造辅助数列，利用基本数列可简捷地求出通项公式，一般地，a_n=ta_n-1+1可以变形为a_n+k=t（a_n-1+k）（k为常数），则可得{ a_n+k}是公比为t的等比数列，属于中档题．