Question

15．在直角坐标系xOy中，曲线C₁：x+y=4，曲线${C_2}：\left\{\begin{array}{l}x=1+cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.（θ$为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C₁，C₂的极坐标方程；
（2）若射线l：θ=α（p＞0）分别交C₁，C₂于A，B两点，求$\frac{{|{OB}|}}{{|{OA}|}}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由曲线C₁：x+y=4可得曲线C₁的极坐标方程；先将曲线C₂化为普通方程，进而可得曲线C₂的极坐标方程；
（2）设A（ρ₁，α），B（ρ₂，α），-$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{π}{2}$，则ρ₁=$\frac{4}{cosα+sinα}$，ρ₂=2cosα，则$\frac{|OB|}{|OA|}$=$\frac{ρ2}{ρ1}$，进而得到答案．

解答 解：（1）∵在直角坐标系xOy中，曲线C₁：x+y=4，
曲线C₁的极坐标方程为：ρ（cosθ+sinθ）=4，
C₂的普通方程为（x-1）²+y²=1，
所以曲线C₂的极坐标方程为：ρ=2cosθ．…（4分）
（2）设A（ρ₁，α），B（ρ₂，α），-$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{π}{2}$，
则ρ₁=$\frac{4}{cosα+sinα}$，ρ₂=2cosα，…（6分）
$\frac{|OB|}{|OA|}$=$\frac{ρ2}{ρ1}$=$\frac{1}{4}$×2cosα（cosα+sinα）
=$\frac{1}{4}$（cos2α+sin2α+1）=$\frac{1}{4}$[$\sqrt{2}$cos（2α-$\frac{π}{4}$）+1]，…（8分）
当α=$\frac{π}{8}$时，$\frac{|OB|}{|OA|}$取得最大值$\frac{1}{4}$（$\sqrt{2}$+1）．…（10分）

点评 本题考查的知识点是直线与圆的极坐标方程，圆的参数方程，三角函数的最值，难度中档．