Question

已知f（x）是定义域为R的函数，给出下列命题：
①若f′（1）=0，则x=1是f（x）的极值点；
②若1＜a＜3，则函数f（x）=

(3-a)x-3，x≤7 ax-6，x＞7

是单调函数；
③若f（x）为奇函数，又f（x+1）为偶函数，则f（1）+f（3）+…+f（19）=f（2）+f（4）+…+f（20）；
④若f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N^*），且f（x）在x=1处的切线与x轴交于点（x_n，0），则lgx₁+lgx₂+…+lgx₉₉=-2
其中正确命题的序号是

③④

 （写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

分析：①利用函数的极值和导数之间的关系进行判断．②利用函数的单调性的意义进行判断．
③利用函数的奇偶性进行求值．④利用导数的运算和对数的运算法则求值．

解答：解：①因为f′（a）=0是函数在a处取得极值的必要不充分条件，所以①错误．
②若1＜a＜3，则函数f（x）=a^x-6在（7，+∞）为单调递增函数，f（x）=（3-a）x-3在（-∞，7]单调递增．
若函数f（x）单调递增，则7（3-a）-3＜a，此时a＞

9

4

，所以当1＜a≤

9

4

时，函数不单调，所以②错误．
③若f（x）为奇函数，又f（x+1）为偶函数，所以f（-x+1）=f（x+1）=-f（x-1），即f（x+2）=-f（x），
所以f（x+4）=f（x），即函数的周期为4．
所以f（1）+f（3）=f（1）+f（3-4）=f（1）+f（-1）=0，f（5）+f（7）=f（1）+f（3）=0，…
f（17）+f（19）=f（1）+f（3）=0，所以f（1）+f（3）=+…+f（19）=0．
而0=f（2）+f（-2）=f（2）+f（-2+4）=2f（2），所以f（2）=0，所以f（2）=f（6）=f（10）=f（14）=f（18）=0，
又f（4）=f（8）=f（12）=f（16）=f（20）=f（0）=0，所以f（2）+f（4）+…f（20）=0．
所以f（1）+f（3）+…f（19）=f（2）+f（4）+…f（20）．所以③正确．
④函数的导数为f'（x）=（n+1）xⁿ，所以f'（1）=n+1，f（1）=1．
所以f（x）在x=1处的切线方程为y-1=（n+1）（x-1）．
切线与x轴的交点坐标为（x_n，0），
所以xn=1-

1

n+1

=

n

n+1

，所以lgxn=lg

n

n+1

．
所以lgx₁+lgx₂+…+lgx₉₉=lg

1

2

+lg

2

3

+lg

3

4

+…+lg

99

100

=lg(

1

2

?

2

3

?

3

4

…

99

100

)=lg

1

100

=-2．故④正确．
故答案为：③④．

点评：本题主要考查命题的真假判断，综合性较强，涉及的知识点较多．