Question

【题目】已知F1、F2分别是双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A.（1， ）
B.（ ，+∞）
C.（ ，2）
D.（2，+∞）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：双曲线 ﹣ =1的渐近线方程为y=± x，

不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y= （x﹣c），

与y=﹣ x联立，可得交点M（ ，﹣ ），

∵点M在以线段F1F2为直径的圆外，

∴|OM|＞|OF2|，即有 ＞c2，

∴b2＞3a2，

∴c2﹣a2＞3a2，即c＞2a．

则e= ＞2．

∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）．

故选：D．

根据斜率与平行的关系即可得出过焦点F2的直线，与另一条渐近线联立即可得到交点M的坐标，再利用点M在以线段F1F2为直径的圆外和离心率的计算公式即可得出．