Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，在定义域x∈[-2，2]上表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线斜率均为-1．有以下命题：
①f（x）是奇函数；②若f（x）在[s，t]内递减，则|t-s|的最大值为4；③f（x）的最大值为M，最小值为m，则M+m=0； ④若对?x∈[-2，2]，k≤f′（x）恒成立，则k的最大值为2．其中正确命题的序号为

①③

．

Answer 1

分析：由题意可得f（0）=0，f′（1）=f′（-1）=-1，代入可求a，b，c，进而可求f（x）
①由于f（-x）=-x³+4x=-f（x），即f（x）是奇函数
②若f（x）在[s，t]内递减，则t=

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3

，s=-

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时|t-s|的最大；
③由奇函数的关于原点对称可知，最大值与最小值互为相反数，
④若对?x∈[-2，2]，由于f′（x）=3x²-4∈[-4，8]，则k≤f′（x）恒成立，则k≤f′（x）_min即可求解k，

解答：解：∵f（x）=x³+ax²+bx+c，在定义域x∈[-2，2]上表示的曲线过原点，
∴f（0）=0
∴c=0
∵f′（x）=3x²+2ax+b，且在x=±1处的切线斜率均为-1．
∴f′（1）=f′（-1）=-1
∴

3+2a+b=-1 3-2a+b=-1

，解可得b=-4，a=0
∴f（x）=x³-4x，f′（x）=3x²-4
①∵f（-x）=-x³+4x=-f（x），即f（x）是奇函数；①正确
②由f′（x）≥0得x≥

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或x≤-

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3

f（x）在[

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3

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]内单调递减，若f（x）在[s，t]内递减，则，t=

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，s=-

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时|t-s|的最大值为

4 3

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；②错误
③由奇函数的关于原点对称可知，最大值与最小值互为相反数，f（x）的最大值为M，最小值为m，则M+m=0；③正确
④若对?x∈[-2，2]，由于f′（x）=3x²-4∈[-4，8]，则k≤f′（x）恒成立，则k≤-4，则k的最大值为-4．④错误
正确命题的序号为①③
故答案为：①③

点评：本题主要考查了函数的导数的几何意义的应用，函数的奇偶性及单调性等知识的综合应用．