Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，AB=5，BC=4，AA₁=4，点D是AB的中点，
（1）求证：AC⊥BC₁；
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁．
（3）求二面角C₁-AB-C的正切值．

Answer 1

证明：（1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
∵底面三边长AC=3，AB=5，BC=4，
∴AC⊥BC，（1分）
又直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中AC⊥CC₁，
且BC∩CC₁=C
BC∩CC₁?平面BCC₁B₁
∴AC⊥平面BCC₁B₁
而BC₁?平面BCC₁B₁
∴AC⊥BC₁；
（2）设CB₁与C₁B的交点为E，连接DE，（5分）
∵D是AB的中点，E是BC₁的中点，
∴DE∥AC₁，（7分）
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．（8分）
（3）过点C作CF⊥AB于F，连接C₁F（9分）
由已知C₁C垂直平面ABC，则∠C₁FC为二面角C₁-AB-C的平面角（11分）
在Rt△ABC中，AC=3，AB=5，BC=4，则CF=

12

5

（12分）
又CC₁=AA₁=4
∴tan∠C₁FC=

5

3

（13分）
∴二面角C₁-AB-C的正切值为

5

3

（14分）