Question

【题目】如图，在三棱锥A﹣BOC中，OA，OB，OC两两垂直，点D，E分别为棱BC，AC的中点，F在棱AO上，且满足OF= ，已知OA=OC=4，OB=2．

（1）求异面直线AD与OC所成角的余弦值；
（2）求二面角C﹣EF﹣D的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，以O为原点，分别以OB、OC、OA所在直线为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系．

依题意可得：O（0，0，0），A（0，0，4），B（2，0，0），C（0，4，0），D（1，2，0），E（0，2，2），F（0，0，1），

∴ ， ，

于是 ， ， ，

∴cos＜ ＞=

（2）解：平面AOC的一个法向量为 ．

设 为平面DEF的一个法向量，

又 ， ，

则 ，取z=2，则x=4，y=﹣1，

∴ 为平面DEF的一个法向量，

从而cos＜ ＞= ，

设二面角C﹣EF﹣D的大小为θ，则|cosθ|= ．

∵θ∈[0，π]，∴sinθ= ．

因此二面角C﹣EF﹣D的正弦值为 ．

【解析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，进而求出各个点的坐标，进而得到和的坐标，利用向量的数量积公式可求出其余弦值。（2）根据题意可得平面AOC的一个法向量为 = ( 2 ， 0 ， 0 ) ．求出平面DEF的一个法向量的坐标，利用向量的数量积可求出二面角平面角的余弦值，进而得到正弦值。
【考点精析】解答此题的关键在于理解异面直线及其所成的角的相关知识，掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系．