Question

若x、y∈R⁺，且x≠y，则“

x y

，

2 x y

x+y

，

x+y

2

”的大小关系是…（　　）

• A．

  x y

  ＜

  2 x y

  x+y

  ＜

  x+y

  2

• B．

  2 x y

  x+y

  ＜

  x y

  ＜

  x+y

  2

• C．

  x y

  ＜

  x+y

  2

  ＜

  2 x y

  x+y

• D．

  x+y

  2

  ＜

  2 x y

  x+y

  ＜

  x y

Answer 1

分析：法一：如果能记住“对任意实数x、y∈R⁺，

2 x y

x+y

≤

x y

≤

x+y

2

≤  

x2+y2 2

成立”，就可以直接选出答案；
法二：可以取特殊值法验证即可；法三：利用综合法或分析法证明，但作为选择题有点小题大做了．

解答：解：由题意知
  利用分析法证明如下：
  证明：①要证不等式x、y∈R⁺，

2 x y

x+y

≤

x y

成立，
          只需证(

2 x y

x+y

)2≤ (

x y

)2成立即可
         化简得：（x+y）²≥4xy
             即：（x-y）²≥0恒成立
          又∵x≠y
∴

2 x y

x+y

＜

x y

成立
       ②要证不等式x、y∈R⁺，

x y

≤

x+y

2

成立，两边平方  
         得：（x+y）²≥4xy
          即不等式（x-y）²≥0恒成立       
          又∵x≠y
∴

xy

＜

x+y

2

成立
    综上所述：由①②知不等式

2 x y

x+y

＜

x y

＜

x+y

2

成立．
   故选B

点评：本题主要考查均值不等式的证明与大小的判断，并不难，属于基础题型．