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18.已知函数$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{2^x}-1({x≤0})\\ f({x-1})+1({x>0})\end{array}\right.$,把函数g(x)=f(x)-x的零点的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为(  )
A.${a_n}=\frac{{n({n-1})}}{2}$B.an=n(n-1)C.an=n-1D.${a_n}={2^n}-2$

分析 根据函数的零点的定义,构造两函数图象的交点,交点的横坐标即为函数的零点,再通过数列及通项公式的概念得所求的解.

解答 解:当x∈(-∞,0]时,
由g(x)=f(x)-x=2x-1-x=0,得2x=x+1.
令y=2x,y=x+1.
在同一个坐标系内作出两函数在区间
(-∞,0]上的图象,
由图象易知交点为(0,1),
故得到函数的零点为x=0.
当x∈(0,1]时,x-1∈(-1,0],
f(x)=f(x-1)+1=2x-1-1+1=2x-1
由g(x)=f(x)-x=2x-1-x=0,得2x-1=x.
令y=2x-1,y=x.
在同一个坐标系内作出两函数在区间(0,1]上的图象,由图象易知交点为(1,1),
故得到函数的零点为x=1.
当x∈(1,2]时,x-1∈(0,1],f(x)=f(x-1)+1=2x-1-1+1=2x-2+1,
由g(x)=f(x)-x=2x-2+1-x=0,得2x-2=x-1.令y=2x-2,y=x-1.
在同一个坐标系内作出两函数在区间(1,2]上的图象,
由图象易知交点为(2,1),故得到函数的零点为x=2.
依此类推,当x∈(2,3],x∈(3,4],…,x∈(n,n+1]时,
构造的两函数图象的交点依次为(3,1),(4,1),…,(n+1,1),
得对应的零点分别为x=3,x=4,…,x=n+1.
故所有的零点从小到大依次排列为0,1,2,…,n+1.其对应的数列的通项公式为an=n-1.
故选:C.

点评 本题主要考查了函数零点的概念及零点的求法、数列的概念及简单表示;培养学生观察、分析、归纳、推理的能力;解题中使用了数形结合及分类讨论的数学方法和数学思想

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