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    （本题满分14分）

    某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，同时预计年销售量增加的比例为．已知年利润=（出厂价–投入成本）年销售量．

    （1）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式；

    （2）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例应在什么范围内？

     

    【答案】

    （1）．

    （2）为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例应满足．                                                       

    【解析】本小题主要考查建立函数关系、不等式的性质和解法等内容，考查运用数学知识解决实际问题的能力．

    （1）根据若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x和年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量．建立利润模型，要注意定义域．

    （2）要保证本年度的利润比上年度有所增加，只需今年的利润减去的利润大于零即可，解不等式可求得结果，要注意比例的范围

    解：（1）由题意得

    ，          4分

    整理得 ．                      7分

    （2）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当

                即                  10分

     解不等式得 ．                                                 13分

     答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例应满足．                                                           14分

     

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    π
    3
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    x=2cosα
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