Question

【题目】如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点． （I）证明：AE⊥PD；
（II）H是PD上的动点，EH与平面PAD所成的最大角为45°，求二面角E﹣AF﹣C的正切值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°， 得△ABC为正三角形，因为E为BC的中点，所以AE⊥BC，
又BC∥AD，因此AE⊥AD，
因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE，
而PA平面PAD，AD平面PAD且PA∩AD=A，
所以AE⊥平面PAD，又PD平面PAD，所以AE⊥PD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE⊥平面PAD，
∴∠AHE是EH与平面PAD所成的角，
由于AE为定值，∴当AH最小时，∠AHE最大
此时AH⊥PD，∠AHE=45°
设AB=2a，则AE= ，AH=AE= ，
∵ ，∴ADPA=PDAH，2a ，
∴PA=2 ，
以 、 、 为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则P（0，0，2 ），E（ ，0，0），C（ ，a，0），F（ ， ， ），
设平面AFC的一个法向量为 =（x，y，z），则 ，
即 ，取x=1，得 =（1，﹣ ，0），
设平面AEF的一个法向量为 =（x，y，z），则 ，
即 ，取z=1，得 =（0，﹣2 ，1），
cos＜ ＞= = = ，
tan＜ ＞= = ，
∴二面角E﹣AF﹣C的正切值为 ．

【解析】（Ⅰ）推导出△ABC为正三角形，从而AE⊥BC，推导出AE⊥AD，PA⊥AE，由此能证明AE⊥PD． （Ⅱ）推导出∠AHE是EH与平面PAD所成的角，当AH最小时，∠AHE最大，此时AH⊥PD，∠AHE=45°，以 、 、 为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣AF﹣C的正切值．
【考点精析】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识点，需要掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点才能正确解答此题．