如图,PA平面ABCD,四边形ABCD为矩形,PA=AB=,AD=1,点F是PB的中点,点E在边BC上移动.
(I)求三棱锥E—PAD的体积;
(II)试问当点E在BC的何处时,有EF//平面PAC;
(1lI)证明:无论点E在边BC的何处,都有PEAF.
见解析
解析试题分析:(Ⅰ)注意到PA平面ABCD,得知的长即为三棱锥的高,而三棱锥的体积等于的体积,计算即得.
(Ⅱ)当点为的中点时,与平面平行.
利用三角形中位线定理,得到,进一步得出∥平面.
(Ⅲ)证明:根据等腰三角形得出,根据平面,平面,
得到 ,又因为 且,?平面,得到平面,又平面,.
再根据,平面,及平面,根据,作出结论.
试题解析:(Ⅰ)由已知PA平面ABCD,所以的长即为三棱锥的高,三棱锥的体积等于的体积
= = .
(Ⅱ)当点为的中点时,与平面平行.
∵在中,分别为的中点,连结
,又平面,而平面,
∴∥平面.
(Ⅲ)证明:因为,所以等腰三角形中,
∵平面,平面,
∴
又因为 且,?平面,
∴平面,又平面,
∴.
又∵,
∴平面.PB,BE?平面PBE,
∵
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如图,在四棱锥P-ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,底面ABCD为矩形,E为PD上一点,AD=2AB=2AP=2,PE=2DE.
(1)若F为PE的中点,求证:BF∥平面ACE;
(2)求三棱锥P-ACE的体积.
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如图,正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都相等,M、E分别是和AB1的中点,点F在BC上且满足BF∶FC=1∶3.
(1)求证:BB1∥平面EFM;
(2)求四面体的体积.
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如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点
(Ⅰ)证明:BC1//平面A1CD;
(Ⅱ)设AA1=AC=CB=2,AB=,求三棱锥C一A1DE的体积.
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如图所示,在三棱锥A—BCD中,侧面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD=,BD=CD=1,另一个侧面ABC是正三角形.
(1)当正视图方向与向量的方向相同时,画出三棱锥A—BCD的三视图;(要求标出尺寸)
(2)求二面角B—AC—D的余弦值;
(3)在线段AC上是否存在一点E,使ED与平面BCD成30°角? 若存在,确定点E的位置;若不存在,说明理由.
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