Question

【题目】如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面PBC⊥底面ABCD，点M在AB上，且AM：MB=1：2，E为PB的中点．

（1）求证：CE∥平面ADP；
（2）求证：平面PAD⊥平面PAB；
（3）棱AP上是否存在一点N，使得平面DMN⊥平面ABCD，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取棱AP中点F，连接DF，EF．

∵EF为△PAB的中位线，∴EF∥AB，且

∵CD∥AB，且 ，∴EF∥CD，且EF=CD，

∴四边形EFDC为平行四边形，∴CE∥DF

∵DF平面ADP，CE平面ADP，

∴CE∥平面ADP

（2）证明：由（1）可得CE∥DF

∵PC=BC，E为PB的中点，∴CE⊥PB

∵AB⊥BC，平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AB平面ABCD

∴AB⊥平面PBC

又∵CE平面PBC，

∴AB⊥CE

又∵CE⊥PB，AB∩PB=B，AB，PB平面PBC，

∴CE⊥平面PAB

∵CN∥DF，

∴DF⊥平面PAB

又∵DF平面PAD，

∴平面PAD⊥平面PAB

（3）解：存在， ．

证明：取BC中点O，连结AO交MD于Q，连结NQ，

在平面ABCD中由平几得 ，∴ ∥OP．

∵O为等腰△PBC底边上的中点，∴PO⊥BC，

∵PBC⊥底面ABCD，PO平面PBC，平面PBC∩平面ABCD=BC，

∴PO⊥平面ABCD，∴NQ⊥平面ABCD，

∵NQ平面DMN，∴平面DMN⊥平面ABC．

【解析】（1）取棱AP中点F，连接DF，EF，证明四边形EFDC为平行四边形，可得CE∥DF，即可证明CE∥平面ADP；（2）证明CE⊥平面PAB，利用CN∥DF，可得DF⊥平面PAB，即可证明平面PAD⊥平面PAB；（3）存在， ．取BC中点O，连结AO交MD于Q，连结NQ，证明NQ⊥平面ABCD，即可得出结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行，以及对平面与平面垂直的判定的理解，了解一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．