Question

10．（1）已知4x+x^-1=6，求$8{x^{\frac{3}{2}}}+{x^{-\frac{3}{2}}}$的值；
（2）若log₃2=m，log₅3=n，用m，n表示log₄15．

Answer 1

分析 （1）根据指数幂的运算性质即可求出．
（2）根据对数的运算法则和对数的换底公式进行化简即可．

解答 解：（1）显然x＞0，令$a=2{x^{\frac{1}{2}}}，b={x^{-\frac{1}{2}}}$，则已知a²+b²=6，ab=2，
∴${（a+b）^2}={a^2}+{b^2}+2ab=10，a+b=\sqrt{10}$，
∴$8{x^{\frac{3}{2}}}+{x^{-\frac{3}{2}}}={a^3}+{b^3}=（a+b）（{a^2}-ab+{b^2}）=4\sqrt{10}$，
（2）∵$\left\{{\begin{array}{l}{{{log}_3}2=\frac{lg2}{lg3}=m}\\{{{log}_5}3=\frac{lg3}{lg5}=\frac{lg3}{1-lg2}=n}\end{array}}\right.∴\left\{{\begin{array}{l}{lg2=\frac{mn}{mn+1}}\\{lg3=\frac{n}{mn+1}}\end{array}}\right.$，
∴${log_4}15=\frac{lg15}{lg4}=\frac{lg3+lg5}{2lg2}=\frac{lg3-lg2+1}{2lg2}=\frac{n+1}{2mn}$．

点评 本题主要指数查对数的化简，根据对数的换底公式以及对数的运算法则是解决本题的关键