Question

2．已知点A（-1，0），F（1，0），动点P满足$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AF}$=2|$\overrightarrow{FP}$|．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）直线l过F交曲线C于A、B两点，若线段AB的长为6，求l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AF}$=2|$\overrightarrow{FP}$|，建立方程，化简，即可求动点P的轨迹C的方程；
（2）直线l的方程为y=k（x-1）代入y²=4x，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，利用线段AB的长为6，求出k，即可求l的方程．

解答 解：（1）设P（x，y），则$\overrightarrow{AP}$=（x+1，y），$\overrightarrow{FP}$=（x-1，y），$\overrightarrow{AF}$=（2，0），
∵$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AF}$=2|$\overrightarrow{FP}$|，
∴2（x+1）=2$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，
∴y²=4x；
（2）设直线l的方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
直线l的方程为y=k（x-1）代入y²=4x，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，（9分）
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}$（10分）
∵AB=（x₁-1）+（x₂-1）=6，
∴$\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}$=4（12分）
解得$k=±\sqrt{2}$，l的方程为$y=±\sqrt{2}（{x-1}）$（14分）

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．