Question

在平面直角坐标系xOy中，设椭圆T的中心在坐标原点，一条准线方程为y=2，且经过点（1，0）．
（1）求椭圆T的方程；
（2）设四边形ABCD是矩形，且四条边都与椭圆T相切．
①求证：满足条件的所有矩形的顶点在一个定圆上；
②求矩形ABCD面积S的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的标准方程及其性质即可得出；
（2）由题意知，矩形ABCD是椭圆的外切矩形，①（i）若矩形ABCD的边与坐标轴不平行，则可设一组对边所在直线的方程为y=kx+m（k≠0），与椭圆方程联立由△=0，即可得到m与k的关系式，进而的另一组对边直线方程，消去参数即可证明结论；（ii）若矩形ABCD的边与坐标轴平行，直接求出即可；
②当矩形ABCD的边与坐标轴不平行时，由①知，一组对边所在直线间的距离为另一组对边的边长，利用平行线间的距离公式即可得出．进而得到面积，利用函数的单调性即可得出．若矩形ABCD的边与坐标轴平行时容易得出．

解答：解：（1）∵椭圆T的中心在坐标原点，一条准线方程为有y=2，
∴椭圆T的焦点在y轴上，于是可设椭圆T的方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）．
∵椭圆T经过点（1，0），
∴

a2 a2-b2 =2 0 a2 + 1 b2 =1

解得

a2=2 b2=1

故椭圆T的方程为

y2

2

+x2=1．
（2）由题意知，矩形ABCD是椭圆x2+

y2

2

=1的外切矩形，
①（i）若矩形ABCD的边与坐标轴不平行，则可设一组对边所在直线的方程为y=kx+m（k≠0），
则由

x2+ y2 2 =1 y=kx+m

消去y得（k²+2）x²+2kmx+m²-2=0，
于是△=4k²m²-4（k²+2）（m²-2）=0，化简得m=±

k2+2

．
∴矩形ABCD的一组对边所在直线的方程为y=kx±

k2+2

，即y-kx=±

k2+2

，
则另一组对边所在直线的方程为ky+x=±

1+2k2

，
于是矩形顶点坐标（x，y）满足（y-kx）²+（ky+x）²=（k²+2）+（1+2k²），
即（1+k²）（x²+y²）=3（1+k²），亦即x²+y²=3．
（ii）若矩形ABCD的边与坐标轴平行，则四个顶点(±1，  ±

2

)显然满足x²+y²=3．
故满足条件的所有矩形的顶点在定圆x²+y²=3上．
②当矩形ABCD的边与坐标轴不平行时，由①知，一组对边所在直线间的距离为另一组对边的边长，
于是矩形的一条边长为

2 k2+2

1+k2

，另一条边长为

2 (- 1 k )2+2

1+(- 1 k )2

=

2 2k2+1

1+k2

．
∴S=

4 k2+2 • 2k2+1

1+k2

=

4 2k4+5k2+2

1+k2

=

4 2(k+ 1 k )2+1

|k+ 1 k |

，
令t=|k+

1

k

|，则t²∈[2，+∞），于是S=

4 2t2+1

t

=4

2+ 1 t2

∈(4

2

，  6]．
若矩形ABCD的边与坐标轴平行，则S=4

2

．
故S的取值范围是[4

2

，  6]．

点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切问题转化为方程联立得到△=0、平行线间的距离公式、矩形的面积公式、函数的单调性等是解题的关键．