Question

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且

cosB

cosC

=

b

2a+c

．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=

13

，a+c=6，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理的应用

专题：解三角形

分析：（1）利用正弦定理化简已知的等式，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinA不为0，得到cosB的值，由B为三角形的内角求出B；
（2）利用余弦定理表示出关于a与c的关系式，再由条件联立方程求出ac的值，然后求解三角形的面积．

解答： 解：（1）根据正弦定理得：

b

2a+c

=

sinB

2sinA+sinC

，
则

cosB

cosC

=

sinB

2sinA+sinC

，
所以sinBcosC=2sinAcosB+cosBsinC，
整理得：2sinAcosB+sin（B+C）=0，
又A+B+C=π，即B+C=π-A，
则sin（B+C）=sin（π-A）=sinA，
所以2sinAcosB+sinA=0，又sinA≠0，
所以cosB=-

1

2

，
又0°＜B＜180°，所以B=120°；
（2）根据余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即a²+c²+ac=b²，
又b=

13

，a+c=6，
所以（a+c）²-ac=13，得ac=23，
由a+c=4、ac=23得，
S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×23×

3

2

=

23 3

4

．

点评：本题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及整体代换求值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．