Question

【题目】定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数 ．
（1）若f（x）是奇函数，求m的值；
（2）当m=1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（3）若函数f（x）在[0，1]上是以3为上界的函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）

得 ，即（1﹣m2）2x=0，∴m2﹣1=0，m=±1

（2）解：当m=1时， ．

∵x＜0，∴0＜2x＜1，∴f（x）∈（0，1），满足|f（x）|≤1．

∴f（x）在（﹣∞，0）上为有界函数

（3）解：若函数f（x）在[0，1]上是以3为上界的有界函数，则有|f（x）|≤3在[0，1]上恒成立．

∴﹣3≤f（x）≤3，

即 ，

∴ ，化简得： ，

即 ，

上面不等式组对一切x∈[0，1]都成立，

故 ，

∴

【解析】（1）根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解即可．（2）根据分式函数的性质以及有界函数的定义进行求解判断即可．（3）根据函数的有界性建立不等式关系，利用不等式恒成立进行求解即可．