如图,四棱锥P―ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,AD//BC,CB⊥侧面PAB,△PAB是等边三角形,DA=AB=2BC,F是线段AB的中点。
(1)求证:DF⊥PF;
(2)求PC与平面PDF所成的角。
(1)证明:∵CB⊥侧面PAB,PF平面PAB,
∴PF⊥BC。
又∵△PAB是等边三角形,F是线段AB的中点,
∴PF⊥AB,
∴PF⊥平面ABCD,
∵DF平面ABCD,
∴DF⊥PF。
(2)方法一:作CH⊥DF,垂足为H,连接PH,
由(1)知:PF⊥平面ABCD。
∴平面PDF⊥平面CDF,
∴CH⊥平面PDF,
∴PH是PC在平面PDF上的射影,
∴∠CPH是PC与平面PDF所成的角。
∵CB⊥侧面PAB,AD//BC,DA⊥侧面PAB,
∴△DAF,△BFC,△PBC都是直角三角形,
设BC=1,则DA=AB=2,AF=FB=1,
在三角形DFC中,DF=
经计算
∴直角三角形PHC中,
∴PC与平面PDF所成的角为
方法二:
如图,以F为原点,FB、FP分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系。
设BC=1,则DA=AB=2,AF=FB=1,PF=
从而C(1,1,0)、D(2,-1,0)、P(0,0)
平面PDF的法向量
设PC与平面PDF所成的角为
∴PC与平面PDF所成的角为
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