Question

在函数概念的发展过程中，德国数学家狄利克雷（Dirichlet，1805--1859）功不可没．19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”：y=f(x)=

1，x为有理数 0，x为无理数.

，这个函数后来被称为狄利克雷函数．下面对此函数性质的描述中不正确的是（　　）

A．它是偶函数

B．它是周期函数，且没有最小正周期

C．它没有单调性

D．它有函数图象

Answer 1

分析：A．B．通过分类讨论和利用偶函数、周期函数的定义可判断出其正误；C．D．利用实数的稠密性及单调性的定义可以判断出其正误．

解答：解：A．若x为有理数，则-x也为有理数，∴f（-x）=f（x）=1；若x为无理数，则-x也为无理数，∴f（-x）=f（x）=0，故A正确；
B．若x是有理数，T是非零的有理数，则x+T仍是有理数，故f（x+T）=f（x）=1；设x是无理数，T是非零的有理数，则x+T是无理数，
因此f（x+T）=f（x）=0，由于没有最小的正有理数，故没有最小正周期，由上可知B是真命题；
C．由于实数的稠密性，任意两个有理数之间都有无理数，两个无理数之间也都有有理数，其函数值在1与0之间无间隙转换，故它没有单调性；
D．由于实数的稠密性，任意两个有理数之间都有无理数，两个无理数之间也都有有理数，故无法画出它的图象．
故选D．

点评：本题综合考查了狄氏函数的奇偶性、周期性、单调性及图象等性质，熟练掌握以上知识是解决问题的关键．