【题目】已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点,且长轴长为4.
求椭圆E的方程;
若A是椭圆E的左顶点,经过左焦点F的直线l与椭圆E交于C,D两点,求
与
为坐标原点
的面积之差绝对值的最大值.
已知椭圆E上点
处的切线方程为
,T为切点
若P是直线
上任意一点,从P向椭圆E作切线,切点分别为N,M,求证:直线MN恒过定点,并求出该定点的坐标.
【答案】(1);(2)
;(3)
【解析】
由题意可知:
,
,根据椭圆的性质:
,即可求得a和b的值,求得椭圆方程;
由题意设直线方程,
,将直线方程代入椭圆方程,根据韦达定理求得
,根据三角形的面积公式
,分类,当
时,
,
时,根据基本不等式的关系,即可求得
的最大值为
,
设点
,切点
,
,由
可知两切线方程PM,PN的方程,同去利用P点在切线PM,PN上,从而直线MN方程为
,从而问题解决.
由题意得
又
,
,所以
,
.
所以椭圆E的方程为.
设
的面积为
,
的面积为
.
当直线l斜率不存在时,直线方程为.
据椭圆对称性,得,
面积相等,所以
.
当直线斜率存在时,设直线方程为,设
,
联立方程组,消由得
,则
.
所以.
又因为,当且仅当
或
时取“
”.
所以的最大值为
.
证明:设
,
,
由已知得切线切线
,
把代入
得
,
.
从而直线MN方程为,即
.
对,当
,
时恒成立,恒过定点
.
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【题目】 为向国际化大都市目标迈进,沈阳市今年新建三大类重点工程,它们分别是30项基础设施类工程,20项民生类工程和10项产业建设类工程.现有来沈阳的3名工人相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设.
(Ⅰ)求这3人选择的项目所属类别互异的概率;
(Ⅱ)将此3人中选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的人数记为,求
的分布列和数学期望
.
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【题目】已知集合,其中
,由
中的元素构成两个相应的集合:
,
.
其中是有序数对,集合
和
中的元素个数分别为
和
.
若对于任意的,总有
,则称集合
具有性质
.
(Ⅰ)检验集合与
是否具有性质
并对其中具有性质
的集合,写出相应的集合
和
.
(Ⅱ)对任何具有性质的集合
,证明
.
(Ⅲ)判断和
的大小关系,并证明你的结论.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设点是棱长为2的正方体
的棱
的中点,点
在面
所在的平面内,若平面
分别与平面
和平面
所成的锐二面角相等,则点
到点
的最短距离是( )
A. B.
C. 1 D.
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【题目】如图,四棱锥中,底面
为梯形,
底面
,
,
,
,
.
(1)求证:平面
平面
;
(2)设为
上的一点,满足
,若直线
与平面
所成角的正切值为
,求二面角
的余弦值.
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【题目】为增强市民的节能环保意识,汕头市面向全市征召义务宣传志愿者,从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分组区是:
,
(1)求图中的值,并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在
岁的人数;
(2)在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 10 名参加人民广场的宣传活动,再从这 10 名志愿者中选取 3 名担任主要负责人.记这 3 名志愿者中“年龄低于 35 岁”的人数为 ,求
的分布列及数学期望.
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