【题目】已知函数.
(1)解不等式;
(2)若函数在区间
上存在零点,求实数
的取值范围;
(3)若函数,其中
为奇函数,
为偶函数,若不等式
对任意
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1); (2)
;(3)
.
【解析】
(1)利用换元法,将原不等式转化为一元二次不等式来求解.(2)将问题分离常数,转化为在
有解的问题来解决.求得
在
上的值域,来求得
的取值范围.(3)先根据函数的奇偶性的概念,求得
的解析式,化简所求不等式为
,利用换元法及分离参数法分离出
,利用恒成立问题解决方法求得
的取值范围.
(1)原不等式即为,设t=2x,则不等式化为t﹣t2>16﹣9t,
即t2﹣10t+16<0,解得,即
,∴1<x<3,∴原不等式的解集为
.
(2)函数在
上有零点,∴
在
上有解,即
在
有解.
设,∵
,∴
,
∴.∵
在
有解,∴
,故实数
的取值范围为
.
(3)由题意得,解得
.
由题意得,
即
对任意恒成立,令
,
,则
.
则得对任意的
恒成立,
∴对任意的
恒成立,
∵在
上单调递减,∴
.
∴,∴实数
的取值范围
.
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【题目】(1)已知命题:实数
满足
,命题
:实数
满足方程
表示的焦点在
轴上的椭圆,且
是
的充分不必要条件,求实数
的取值范围;
(2)设命题:关于
的不等式
的解集是
;
:函数
的定义域为
.若
是真命题,
是假命题,求实数
的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆
的离心率为
,且过点
.
(1)求的方程;
(2)若动点在直线
上,过
作直线交椭圆
于
两点,使得
,再过
作直线
,证明:直线
恒过定点,并求出该定点的坐标.
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【题目】如图所示,A是函数f(x)=2x的图象上的动点,过点A作直线平行于x轴,交函数g(x)=2x+2的图象于点B,若函数f(x)=2x的图象上存在点C使得△ABC为等边三角形,则称A为函数f(x)=2x上的好位置点.函数f(x)=2x上的好位置点的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.大于2
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【题目】已知椭圆,倾斜角为
的直线与椭圆相交于
两点,且线段
的中点为
.过椭圆
内一点
的两条直线分别与椭圆交于点
,且满足
,其中
为实数.当直线
平行于
轴时,对应的
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)当变化时,
是否为定值?若是,请求出此定值;若不是,请说明理由.
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【题目】在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3cosAcosB+1=3sinAsinB+cos2C.
(1)求∠C
(2)若△ABC的面积为5 ,b=5,求sinA.
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