Question

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=1，，P、Q分别是CD₁和A₁A的中点，
求证：
（1）PQ∥面ABCD；
（2）面DPQ⊥面BB₁D₁D．

Answer 1

证明：（1）取CD中点M，连接AM、PM．
∵P、Q分别是CD₁和A₁A的中点，
∴，，…（2分）
∴PM∥AQ，PM=AQ，可得四边形AMPQ是平行四边形，
∴PQ∥AM，…（5分）
又∵AM?平面ABCD，PQ?平面ABCD，
∴PQ∥平面ABCD．…（7分）
（2）∵AD=1，，，
∴AD²=AB•DM，可得△ADM～△BAD，
∴∠DAM=∠ABD=90°-∠ADB，
∴AM⊥BD，结合PQ∥AM，可得PQ⊥BD，…（10分）
又∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，∴B₁B⊥平面ABCD，
∵AM?平面ABCD，∴B₁B⊥AM，
∵AM∥PQ，∴PQ⊥B₁B，…（12分）
又∵BD∩B₁B=B，BD、BB₁?平面BB₁D₁D，∴PQ⊥平面BB₁D₁D，
∵PQ?平面DPQ，∴平面DPQ⊥平面BB₁D₁D．…（14分）
分析：（1）取CD中点M，连接AM、PM．利用三角形中位线定理并结合长方体的性质，可得四边形AMPQ是平行四边形，可得PQ∥AM
，最后利用线面平行的判定定理，可得PQ∥面ABCD；
（2）根据平面几何相似三角形的判定，可得AM⊥BD，结合PQ∥AM可得PQ⊥BD．由线面垂直的性质定理，得到PQ⊥平面BB₁D₁D，进而得到平面DPQ⊥平面BB₁D₁D．
点评：本题在长方体中，求证线面平行并且证明面面垂直，着重考查了平面与平面垂直的判定和直线与平面平行的判定等知识，属于中档题．