Question

（2013•天津）已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的

1

2

，则其体积缩小到原来的

1

8

；
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；
③直线x+y+1=0与圆x2+y2=

1

2

相切．
其中真命题的序号是（　　）

A．①②③

B．①②

C．①③

D．②③

Answer 1

分析：对于①由球的体积公式V=

4

3

πR3可知①正确；对于②通过举反例，如2，2，2和1，2，3；这两组数据的平均数相等，它们的标准差不相等，故②错；对于③利用圆x2+y2=

1

2

的圆心到直线x+y+1=0的距离与圆的半径之间的关系进行判断即可．

解答：解：①由球的体积公式V=

4

3

πR3可知，若一个球的半径缩小到原来的

1

2

，则其体积缩小到原来的

1

8

；故①正确；
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差不一定相等，如2，2，2和1，2，3；这两组数据的平均数相等，它们的标准差不相等，故②错；
③圆x2+y2=

1

2

的圆心到直线x+y+1=0的距离d=

1

2

=

2

2

=半径r，故直线x+y+1=0与圆x2+y2=

1

2

相切，③正确．
故选C．

点评：本题主要考查了命题的真假判断与应用，主要考查了球的体积公式、平均数和方差、直线与圆的位置关系等，属于基础题．