Question

已知函数f（x）=log_a（1﹣x）+log_a（x+3），其中0＜a＜1，记函数f（x）的定义域为D．

（1）求函数f（x）的定义域D；

（2）若函数f（x）的最小值为﹣4，求a的值；

（3）若对于D内的任意实数x，不等式﹣x²+2mx﹣m²+2m＜1恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：

函数恒成立问题；函数的定义域及其求法；函数的值域．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

（1）根据使函数的解析式有意义的原则，构造关于自变量x的不等式组，解得函数f（x）的定义域D；

（2）利用对数的运算性质，化简函数的解析式，并根据二次函数的图象和性质，可分析出函数f（x）的最小值为﹣4时，a的值

（3）若不等式﹣x²+2mx﹣m²+2m＜1恒成立，即﹣x²+2mx﹣m²+2m的最大值小于1，结合二次函数的图象和性质，分类讨论后，可得实数m的取值范围．

解答：

解：（1）要使函数有意义：

则有，解得﹣3＜x＜1

∴函数的定义域D为（﹣3，1）…（2分）

（2）f（x）=log_a（1﹣x）+log_a（x+3）=log_a（1﹣x）•（x+3）=log_a[﹣（x+1）²+4]，

∵x∈（﹣3，1）

∴0＜﹣（x+1）²+4≤4

∵0＜a＜1

∴log_a[﹣（x+1）²+4]≥log_a4，

f（x）的最小值为log_a4，

∴log_a4=﹣4，即a=

（3）由题知﹣x²+2mx﹣m²+2m＜1在x∈（﹣3，1）上恒成立，⇔x²﹣2mx+m²﹣2m+1＞0在x∈（﹣3，1）上恒成立，…（8分）

令g（x）=x²﹣2mx+m²﹣2m+1，x∈（﹣3，1），

配方得g（x）=（x﹣m）²﹣2m+1，其对称轴为x=m，

①当m≤﹣3时，g（x）在（﹣3，1）为增函数，∴g（﹣3）=（﹣3﹣m）²﹣2m+1=m²+4m+10≥0，

而m²+4m+10≥0对任意实数m恒成立，∴m≤﹣3．       …（10分）

②当﹣3＜m＜1时，函数g（x）在（﹣3，﹣1）为减函数，在（﹣1，1）为增函数，

∴g（m）=﹣2m+1＞0，解得m＜．∴﹣3＜m＜…（12分）

③当m≥1时，函数g（x）在（﹣3，1）为减函数，∴g（1）=（1﹣m）²﹣2m+1=m²﹣4m+2≥0，

解得m≥或m≤，∴﹣3＜m＜…（14分）

综上可得，实数m的取值范围是 （﹣∞，）∪[，+∞）    …（15分）

点评：

本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的定义域及求法，函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．