【题目】已知离心率为的椭圆过点,点分别为椭圆的左、右焦点,过的直线与交于两点,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)求证:以 为直径的圆过坐标原点.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析
【解析】试题分析:
(1)利用离心率结合椭圆所过的点得到关系 的方程组,求解方程组即可求得椭圆的标准方程;
(2)分类讨论,当斜率不存在的时候单独考查,当斜率存在的时候设出直线方程,联立直线与椭圆的方程,结合韦达定理和平面向量的结论证得 即可.
试题解析:
(Ⅰ)点, 分别为椭圆的左右焦点,椭圆的方程为;
由离心率为得: ;
过点得: ;
所以, , ;椭圆方程为;
(Ⅱ)由(1)知, ;令, ;
当直线的斜率不存在时,直线方程为;
此时, ,不满足;设直线方程为;
代入椭圆方程得:
韦达定理: , ;
所以, ,
;
所以, ;
点到直线的距离为;
所以,由得: ;
所以,以为直径的圆过坐标原点
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【题目】海岛B上有一座高为10米的塔,塔顶的一个观测站A,上午11时测得一游船位于岛北偏东15°方向上,且俯角为30°的C处,一分钟后测得该游船位于岛北偏西75°方向上,且俯角45°的D处(假设游船匀速行驶).
(1)求该船行驶的速度(单位:米/分钟).
(2)又经过一段时间后,游船到达海岛B的正西方向E处,问此时游船距离海岛B多远.
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【题目】集合M={x|﹣2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图形,其中能表示以M为定义域,N为值域的函数关系的是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】共享单车的出现方便了人们的出行,深受我市居民的喜爱.为调查某校大学生对共享单车的使用情况,从该校8000名学生中按年级用分层抽样的方式随机抽取了100位同学进行调查,得到这100名同学每周使用共享单车的时间(单位:小时)如表:
使用时间 | |||||
人数 | 10 | 40 | 25 | 20 | 5 |
(Ⅰ)已知该校大一学生由2400人,求抽取的100名学生中大一学生人数;
(Ⅱ)作出这些数据的频率分布直方图;
(Ⅲ)估计该校大学生每周使用共享单车的平均时间(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
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【题目】已知f(x)=max{x2﹣ax+a,ax﹣a+1},其中max{x,y}= . (Ⅰ)若对任意x∈R,恒有f(x)=x2﹣ax+a,求实数a的值;
(Ⅱ)若a>1,求f(x)的最小值m(a).
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【题目】从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).若要从身高在[ 120 , 130),[130 ,140) , [140 , 150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140 ,150]内的学生中选取的人数应为
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