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【题目】已知离心率为的椭圆过点,点分别为椭圆的左、右焦点,过的直线交于两点,且.

(1)求椭圆的方程;

(2)求证:以 为直径的圆过坐标原点.

【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析

【解析】试题分析:

(1)利用离心率结合椭圆所过的点得到关系 的方程组,求解方程组即可求得椭圆的标准方程;

(2)分类讨论,当斜率不存在的时候单独考查,当斜率存在的时候设出直线方程,联立直线与椭圆的方程,结合韦达定理和平面向量的结论证得 即可.

试题解析:

(Ⅰ)点 分别为椭圆的左右焦点,椭圆的方程为

由离心率为得:

过点得:

所以, ;椭圆方程为

)由(1)知 ;令

当直线的斜率不存在时,直线方程为

此时, ,不满足;设直线方程为

代入椭圆方程得:

韦达定理:

所以,

所以,

到直线的距离为

所以,由得:

所以,以为直径的圆过坐标原点

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使用时间

人数

10

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25

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5

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