Question

如图所示，已知直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，△ABC为等腰直角三角形，
∠BAC=90°，且AB=AA₁，D、E、F分别为B₁A、C₁C、BC的中点.
求证：
（1）DE∥平面ABC；
（2）B₁F⊥平面AEF.

Answer 1

证明略

  方法一 如图建立空间直角坐标系A—xyz，


令AB=AA₁=4，
则A（0，0，0），E（0，4，2），F（2，2，0），B（4，0，0），B₁（4，0，4）.
（1）取AB中点为N，则N（2，0，0），C（0，4，0），D（2，0，2），         3分
∴=（-2，4，0），=（-2，4，0），
∴=，                                                  4分
∴DE∥NC，又NC平面ABC，DE平面ABC.
故DE∥平面ABC.                                                  6分
（2）=（-2，2，-4），
=（2，-2，-2），=（2，2，0）.
·=（-2）×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0,
则⊥,∴B₁F⊥EF,                                         10分
∵·=（-2）×2+2×2+（-4）×0=0.
∴⊥，即B₁F⊥AF，                                          12分
又∵AF∩FE=F，∴B₁F⊥平面AEF.                                 14分
方法二 （1）连接A₁B、A₁E，并延长A₁E交AC的延长线于点P，连接BP.由E为C₁C的中点且A₁C₁∥CP，可证A₁E=EP.
∵D、E分别是A₁B、A₁P的中点，
所以DE∥BP.                                   4分
又∵BP平面ABC，
DE平面ABC，
∴DE∥平面ABC.                                    6分
（2）∵△ABC为等腰三角形，F为BC的中点，
∴BC⊥AF，                                        8分
又∵B₁B⊥AF，B₁B∩BC=B，∴AF⊥平面B₁BF，
而B₁F平面B₁BF，
∴AF⊥B₁F.                                    10分
设AB=A₁A=a，
则B₁F²=a²，EF²=a²，
B₁E²=a²，
∴B₁F²+EF²=B₁E²，B₁F⊥FE.                            12分
又AF∩FE=F，综上知B₁F⊥平面AEF.                  14分