Question

如图，已知直线L：y=kx-1与抛物线C：y=x²，相交于两点A、B，设点M（0，2），△MAB的面积为S．
（1）若直线L上与M连线距离为1的点至多存在一个，求S的范围．
（2）若直线L上与M连线的距离为1的点有两个，分别记为C、D，且满足S≥λ|CD|恒成立，求正数λ的范围．

Answer 1

分析：（1）利用直线L与抛物线相交，直线L上与M连线距离为1的点至多存在一个，确定k的范围，表示出S，即可求S的范围．
（2）条件等价于λ≤

S

|CD|

，求出相应函数的最小值，即可求正数λ的范围．

解答：解：（1）由已知，直线L与抛物线相交，由

y=kx-1 y=x2

可得x²-kx+1=0，∴△=k²-4＞0，即k²＞4…（1）
又直线L与以M为圆心的单位圆相离或相切，所以d=

3

k2+1

≥1，即k²≤8…（2）
由（1）（2）得：4＜k²≤8
∵S=

1

2

|AB|d=

1

2

1+k2

×

k2-4

×

3

k2+1

=

3

2

k2-4

∴S∈（0，3]；…（7分）
（2）由题意可知，当直线L与以M为圆心的单位圆相交于点C，D时，可得k²＞8，且|CD|=2

1- 9 k2+1

=2

k2-8 k2+1

令f（k）=

S

|CD|

=

3

4

(k2-4)(k2+1) k2-8

(k2＞8)，
令t=k²-8（t＞0），则y=

3

4

(t+4)(t+9) t

=

3

4

t+ 36 t +13

(t＞0)，当且仅当k=±

14

取到最小值是

15

4

所以，0＜λ≤

15

4

  …（14分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．