Question

三位同学在研究函数（x∈R） 时，分别给出下面三个结论：
①函数f（x）的值域为 （-1，1）
②若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）
③若规定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，则对任意n∈N^*恒成立．
你认为上述三个结论中正确的个数有    ．

Answer 1

【答案】分析：函数化为分段函数即函数∵f（-x）=-f（x）∴函数为奇函数，从而判断函数当x≥0时的性质即可，由值域和单调性可得①②正确，③的正确性可用数学归纳法证明
解答：解：函数化为分段函数即函数
∵f（-x）=-f（x）
∴函数为奇函数，
∵x≥0时，f（x）==∈[0，1）
∴函数f（x）的值域为 （-1，1），故①正确
∵x≥0时，f（x）==为[0，+∞）的单调增函数
∴函数f（x）为R上的单调增函数，
∴若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂），故②正确
下面用数学归纳法证明③正确
证明：n=1时，命题显然成立；
假设n=k时命题成立，即
则n=k+1时，f_k+1（x）=f（f_k（x））===
即n=k+1时命题成立
∴对任意n∈N^*恒成立
故答案为3
点评：本题考查了函数的值域的求法，函数单调性的定义及判断方法，函数与数列的综合，解题时要紧紧抓住函数的奇偶性解决问题