Question

过抛物线C：y²=4x的焦点F的直线l交抛物线C于P，Q两点，若点P关于x轴对称的点为M，则直线QM的方程可能为（　　）

A．3x+2y+3=0

B．3x-5y+6=0

C．2x+3y+4=0

D．x-2y+1=0

Answer 1

分析：可通过P，M，Q三点向准线作垂线，由

BM

∥

BQ

且

BM

，

BQ

有公共点B可得B，M，Q三点共线，即直线PQ一定过点B（-1，0）即直线一定过准线与X轴交点，结合选项可检验

解答：解：由题意可得，y²=4x的焦点F91，0），准线x=-1，由题意可设直线PQ的方程为x=ky+1
联立方程

y2=4x x=ky+1

可得y²-4ky-4=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则M（x₁，-y₁），y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4
过P，M，Q三点向准线作垂线，垂足分别为A，C，D，准线与x轴交点B（-1，0），
则

BM

=(x1+1，-y1)，

BQ

=(x2+1，y2)
而（1+x₁）y₂+（1+x₂）y₁=x₁y₂+x₂y₁+y₁+y₂
=

y12y2+y22y1

4

-4×（-1）k=

(y1+y2)y1y2

4

+4k=0
∴

BM

∥

BQ

∵

BM

，

BQ

有公共点B
∴B，M，Q三点共线，即直线PQ一定过点B（-1，0）
结合选项可知只有选项D符合条件
故选D

点评：本题考查抛物线的简单性质，解题时要注意公式的灵活运用．