Question

2．考察下列各式

你能做出什么一般性的猜想？能证明你的猜想吗？

Answer 1

分析 直接利用已知条件，猜想写出结果，然后利用数学归纳法证明即可．

解答 解：猜想：（n+1）（n+2）（n+3）…2n=2ⁿ×1×3×5…（2n-1）．
证明：（1）当n=1时，显然成立．
（2）假设当n=k时等式成立，即（k+1）（k+2）（k+3）…2k=2^k×1×3×5…（2k-1）．
那么当n=k+1时（k+1+1）（k+1+2）（k+1+3）…2（k+1）
=$（k+1）\frac{（k+1+1）（k+1+2）（k+1+3）•…•2k（2k+1）2（k+1）}{k+1}$
=$\frac{{2}^{k}×1×3×5•…•（2k-1）（2k+1）2（k+1）}{k+1}$
=2^k+1×1×3×5×…×[2（k+1）-1]，
所以当n=k+1时等式成立．
根据（1）（2）可知对任意正整数等式均成立．

点评 本题考查归纳推理，数学归纳法的证明步骤的应用，考查计算能力，逻辑推理能力．