Question

炎热的夏天，市场上的商贩为遮挡火辣辣的太阳，搭起了简易遮阳棚，利用现有材料做成的棚顶的形状是边长分别为AC=3m，BC=4m，AB=5m的三角形，且最长边AB放在一堵南北方向的墙上，如图所示，经过考察，当太阳光线从正西方向射入且与地面成75°角时，气温最高，要使此时的遮阳面积最大，应使棚顶ABC与水平面所成的角为多少度？

Answer 1

答案：略
解析：

如图所示，设遮阳棚ABC所在平面α水平面为β，棚顶AB边放在β内，△ABC为遮阳棚形成的阴影，由题意有CD⊥AB，作CE⊥AB于E，连结ED，则AB⊥平面CDE， ∴∠CED为二角面α-AB-β的平面角．令∠CED=θ，∵AB⊥平面CED， ∴平面ABD⊥平面CED，则∠CDE是CD与平面β所成的角，即∠CED=75° 在△CED中，由正弦定理，得，即，又由知△ABC为直角三角形，可得， ∴，则当θ=15°时，取最大值．即当遮阳棚顶与地面成15°角时，可使最热时的遮阳面积最大．

提示：

首先要注意这面墙的遮阳变化面积是一个常量，因此总面积是随遮阳棚所遮阳面积的变化而变化的，不妨设想把AB放到地面上来，将所求问题转化为这种情况下遮阳棚遮阳面积最大问题． 当遮阳面积获得最大值时，正是遮阳棚所在平面与太阳光线垂直的时候．