Question

已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意不相等的实数x₁,x₂,都有|f(x₁)-f(x₂)|＜|x₁-x₂|,且f(p)=p(p为常数),又在数列{a_n}中,a₁＜p,f(a_n)+a_n=2a_n+1,求证:

(1)a_n＜p;(2)a_n+1＞a_n.

Answer 1

分析：用数学归纳法证明从“n=k到n=k+1”时,关键是“一凑假设,二凑结论”

证明：很明显,n=1时,a₁＜p成立.假设n=k时,a_k＜p成立,则当n=k+1时,由|f(p)-f(a_k)|＜|p-a_k|及f(p)=p,可得|p-f(a_k)|＜|p-a_k|,

又a_k＜p,故|p-f(a_k)|＜p-a_ka_k-p＜p-f(a_k)＜p-a_k

注意到已知条件f(a_k)+a_k=2a_k+1,

将其变形为f(a_k)=2a_k+1-a_k,

代入①式得a_k+1＜p;代入②式得a_k+1＞a_k.

这样命题(1)(2)获证.