Question

（2013•自贡一模）如图，四棱锥P-ABCD的底ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，E，F分别是AB，BC的中点N在轴上
（I）求证：PF⊥FD；
（II）在PA上找一点G，使得EG∥平面PFD．

Answer 1

分析：（1）连接AF，证明DF⊥平面PAF，即可证得PF⊥FD．
（2）过E点作EH∥DF交AD于点H，过H点作HG∥PD，交PD于点G，连接EG，证明平面EHG∥平面PDF，得EG∥平面PDF，从而得点G得位置．

解答：解析：（Ⅰ）连接AF，则AF=

2

，DF=

2

，
又AD=2，∴DF²+AF²=AD²，
∴DF⊥AF．
又PA⊥平面ABCD，DF?平面ABCD
∴DF⊥PA
又∵PA?平面PAF，AF?平面PAF，PA∩AF=A
∴DF⊥平面PAF
∵PF?平面PAF
∴PF⊥FD
（Ⅱ）如图，过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD且AH=

1

4

AD．
再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG=

1

4

AP，
∵EH?平面EHG，HG?平面EHG，EH∩HG=H
∴平面EHG∥平面PFD．
∵EG?平面EHG
∴EG∥平面PFD．
从而满足AG=

1

4

AP的点G为所求．

点评：本题主要考查了线面垂直的判定及性质、面面平行的判定及性质，解题中要注意线线、线面、面面关系的转化．