Question

称一个函数是“好函数”当且仅当其满足：（1）定义在R上；（2）存在a＜b，使其在（-∞，a）、（b，+∞）上单调递增，在（a，b）上单调递减．则以下函数中不是好函数的是

1. A.
   y=x|x-2|
2. B.
   y=x³-x+1
3. C.
   y=2x³-3x²-6x-1
4. D.
   y=7x⁴+28x+38

Answer 1

D
分析：选项A，可讨论x去绝对值，然后根据二次函数可得函数的单调区间，选项B、C、D都是多项式函数，可利用导数研究函数的单调区间，然后根据“好函数”的定义进行判定即可．
解答：选项A，定义域为R，y=x|x-2|=
∴y=x|x-2|在（-∞，1）、（2，+∞）上单调递增，在（1，2）上单调递减，满足好函数的定义；
选项B，y=x³-x+1定义域为R，则y′=3x²-1＜0解得x∈（-，），
y′=3x²-1＞0解得x∈（-∞，-）∪（，+∞），
∴y=x³-x+1在（-∞，-）、（，+∞）上单调递增，在（-，）上单调递减，满足好函数的定义；
选项C，y=2x³-3x²-6x-1定义域为R，则y′=6x²-6x-6＜0解得x∈（，），
y′=3x²-1＞0解得x∈（-∞，）∪（，+∞），
∴y=2x³-3x²-6x-1在（-∞，）、（，+∞）上单调递增，
在（，）上单调递减，满足好函数的定义；
选项D，y=7x⁴+28x+38定义域为R，则y'=28x³+28＜0解得x＜-1，y'=28x³+28＞0解得x＞-1
∴y=7x⁴+28x+38在（-∞，-1）上单调递减，在（-1，+∞）上单调递增，不满足好函数的定义；
故选D．
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及绝对值函数的处理方法和新定义，同时考查了转化的思想，属于中档题．