【题目】命题p:实数x满足,命题:实数x满足
(1)若,且为真,求实数的取值范围;
(2)若,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
试题首先根据命题的要求,解出命题p和命题q所表示的含义,第一步a=1,解出一元二次不等式得出x的范围,再解不等式组得出命题q所表示的x的范围,由于p且q为真,说明p、q均为真,求出交集;第二步,q是非p的充分条件,先求出非p所表示的集合,根据q所表示的集合是非p所表示的集合的子集,求出实数a的范围.
试题解析:
(1)由于a=1,则x2-4ax+3a2<0x2-4x+3<01<x<3.所以p:1<x<3,解不等式组 得2<x≤3,所以q:2<x≤3,由于p∧q为真,所以p,q均是真命题,解不等式组 得2<x<3,所以实数x的取值范围是(2,3).
(2):x2-4ax+3a2≥0,a>0,x2-4ax+3a2≥0(x-a)(x-3a)≥0x≤a或x≥3a,所以:x≤a或x≥3a,设A={x|x≤a或x≥3a},由(1)知q:2<x≤3,设B={x|2<x≤3}.由于q,所以,所以3≤a或3a≤2,即0<a≤或a≥3,所以实数a的取值范围是 ∪[3,+∞).
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【题目】已知f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)的部分图象如图所示.
(1)求ω的值;
(2)若x∈(-,),求f(x)的值域;
(3)若方程3[f(x)]2-f(x)+m=0在x∈(-,)内有解,求实数m的取值范围.
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【题目】如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,AB=AD=2CD=2,侧面PAD⊥底面ABCD,且△PAD是以AD为底的等腰三角形.
(Ⅰ)证明:AD⊥PB;
(Ⅱ)若四棱锥P-ABCD的体积等于,平面CMN∥平面PAD,且分别交PB,AB于点M,N,试确定M,N的位置,并求△CMN的面积.
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【题目】如图,在棱长为2的正方体中, , , , 分别是棱, , , 的中点,点, 分别在棱, 上移动,且.
(1)当时,证明:直线平面;
(2)是否存在,使面与面所成的二面角为直二面角?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
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【题目】已知等差数列和等比数列,其中的公差不为0.设是数列的前n项和.若,,是数列的前3项,且.
(1)求数列和的通项公式;
(2)若数列为等差数列,求实数t;
(3)构造数列,,,,,,,,,…,,,,…,,….若该数列前n项和,求n的值.
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【题目】已知函数在区间上有最小值1,最大值9.
(1)求实数a,b的值;
(2)设,若不等式在区间上恒成立,求实数k的取值范围;
(3)设),若函数有三个零点,求实数的取值范围.
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【题目】下列说法中错误的是( )
A.先把高二年级的2000名学生编号:1到2000,再从编号为1到50的学生中随机抽取1名学生,其编号为,然后抽取编号为,,,……的学生,这种抽样方法是系统抽样法.
B.一组数据的方差为,平均数为,将这组数据的每一个数都乘以2,所得的一组新数据的方差和平均数为,.
C.若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的值越接近于1.
D.若一组数据1,,3的平均数是2,则该组数据的方差是.
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