【题目】已知函数.
(1)若函数的图象在点
处的切线方程为
,求
,
的值;
(2)当时,在区间
上至少存在一个
,使得
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)m=2,n=﹣1;(2).
【解析】分析:(1)求出函数的导数,结合切点坐标求出,
的值即可;
(2)求出函数的导数,通过讨论m的范围,求出函数的单调区间,从而求出m的范围即可.
详解:(1)∵f′(x)=﹣+n,
故f′(0)=n﹣m,即n﹣m=﹣3,
又∵f(0)=m,故切点坐标是(0,m),
∵切点在直线y=﹣3x+2上,
故m=2,n=﹣1;
(2)∵f(x)=+x,∴f′(x)=
,
当m≤0时,f′(x)>0,
故函数f(x)在(﹣∞,1)递增,
令x0=a<0,此时f(x)<0,符合题意,
当m>0时,即0<m<e时,则函数f(x)在(﹣∞,lnm)递减,在(lnm,+∞)递增,
①当lnm<1即0<m<e时,则函数f(x)在(﹣∞,lnm)递减,在(lnm,1]递增,
f(x)min=f(lnm)=lnm+1<0,解得:0<m<,
②当lnm>1即m≥e时,函数f(x)在区间(﹣∞,1)递减,
则函数f(x)在区间(﹣∞,1)上的最小值是f(1)=+1<0,解得:m<﹣e,无解,
综上,m<,即m的范围是(﹣∞,
).
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为梯形,AD∥BC,BC=6,PA=AD=CD=2,E为BC上一点且BE= BC,PB⊥AE.
(1)求证:AB⊥PE;
(2)求二面角B﹣PC﹣D的余弦值.
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【题目】已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点M(m,2),其焦点为F,且|MF|=2.
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)设E为y轴上异于原点的任意一点,过点E作不经过原点的两条直线分别与抛物线C和圆F:(x﹣1)2+y2=1相切,切点分别为A,B,求证:直线AB过定点F(1,0).
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【题目】已知函数f(x)=|x|+|x﹣1|.
(Ⅰ)若f(x)≥|m﹣1|恒成立,求实数m的最大值M;
(Ⅱ)在(Ⅰ)成立的条件下,正实数a,b满足a2+b2=M,证明:a+b≥2ab.
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【题目】下列说法正确的是( )
A.命题“?x∈R,2x>0”的否定是“?x0∈R,2 <0”
B.命题“若sinx=siny,则x=y”的逆否命题为真命题
C.若命题p,¬q都是真命题,则命题“p∧q”为真命题
D.命题“若△ABC为锐角三角形,则有sinA>cosB”是真命题
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【题目】交通指数是指交通拥堵指数的简称,是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值,记交通指数为,其范围为
,分别有五个级别:
,畅通;
,基本畅通;
,轻度拥堵;
,中度拥堵;
,严重拥堵.在晚高峰时段(
),从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段,依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.
(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数;
(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段,求依次抽取的三个级别路段的个数;
(3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个,求至少有1个路段为轻度拥堵的概率.
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【题目】如图,在矩形中
,E为
的中点,将
沿
翻折到
的位置,
平面
,
为
的中点,则在翻折过程中,下列结论正确的是( )
A.恒有 平面
B.B与M两点间距离恒为定值
C.三棱锥的体积的最大值为
D.存在某个位置,使得平面⊥平面
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