(1)本题解决的关键是取线段AC中点O,利用等腰三角形和直角三角形的性质得OP⊥OC,OP⊥OB.由线面垂直的判定定理得OP⊥平面ABC,再由面面垂直的判定定理得平面
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⊥平面
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.
(2)由(1)得OB、OC、OP两两垂直,可以O为坐标原点建立空间直角坐标系,然后利用
空间向量法求出平面PBC的法向量,再根据直线与平面所成角的向量法求解即可.
(3)在(2)的基础上可知平面PAC的法向量,然后再求出平面PAM的法向量, 则根据这两个法向量夹角的余弦值为为
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,求出直线AM的方程,然后利用点到直线的距离公式可求出B点到AM的最小值.
(1)取AC中点O,因为AP=BP,所以OP⊥OC 由已知易得三角形ABC为直角三角形,∴OA=OB=OC,⊿POA≌⊿POB≌⊿POC,∴OP⊥OB
∴OP⊥平面ABC, ∵OP在平面PAC中,∴平面
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⊥平面
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4分
(2) 以O为坐标原点,OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.
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由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,
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), 5分
∴
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设平面PBC的法向量
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,
由
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得方程组
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,取
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6分
∴

∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为
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. 8分
(3)由题意平面PAC的法向量
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, 设平面PAM的法向量为
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∵
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又因为
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∴
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取
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∴
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∴
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11分
∴B点到AM的最小值为垂直距离
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.