Question

如图，直三棱柱的侧棱长为3，，且，、分别是棱、上的动点，且
（1）证明：无论在何处，总有；
（2）当三棱柱.的体积取得最大值时，求异面直线与所成角的余弦值.

Answer 1

（1）详见解析；（2）.

试题分析：（1）利用正方形的性质，线面垂直的判定与性质定理求解；（2）利用三棱柱的体积公式，均值不等式求得.
试题解析：

（1）∵是正方形，∴，
又，，
∴平面，                      （4分）
∴，平面，
又平面，∴.                      （6分）
（2）设三棱锥的体积为，
当时取等号，                         （8分）
故当时，即、分别是棱、上的中点时，体积最大，
则为所求.
∴，，，∴.    （12分）