Question

f（x）=ax³+bx²（a≠0，a，b∈R）的图象在点（2，f（2））处的切线与x轴平行。
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若已知a>b，求函数f（x）在[b，a]上的最大值。

Answer 1

解：（1）
由题意知
∴
整理得b=-2a
∴
当a>0时，由f'（x）＜0，得0＜x＜2，
∴f（x）的单调递减区间为（0，2）；
当a＜0时，由f'（x）＜0，得x＜0或x>2
∴f（x）的单调递减区间为（-∞，0）和（2，+∞）。
（2）∵a>b且b=-2a，
∴a>0，b＜0

由f（x）=0得
①当0＜a≤3时，
②当a>3时，
综上所述：当0＜a≤3时，f （x）的最大值为0；当a>3时，f（x）的最大值为a⁴-3a³。