Question

已知函数f（x）是R上的奇函数，且单调递减，解关于x的不等式f（tx²-1）+f（t）＜0，其中t∈R且t≠1．

Answer 1

分析：先根据f（x）是R上的奇函数把不等式转化为f（tx²-1）＜-f（t）=f（-t）；再结合其单调性得到tx²＞1-t；最后再通过对t的各种取值分类讨论即可求出原不等式的解集．

解答：解：因为f（x）是R上的奇函数，
所以f（tx²-1）+f（t）＜0可化为f（tx²-1）＜-f（t）=f（-t）．
又f（x）单调递减，且t≠1，所以tx²-1＞-t，即tx²＞1-t．…．（4分）
①当t＞1时，x2＞

1-t

t

，而

1-t

t

＜0，所以x∈∅；…（6分）
②当0＜t＜1时，1-t＞0，解得x＞

1-t t

或x＜-

1-t t

；…..（8分）
③当t≤0时，tx²≤0，而1-t＞0，所以x∈∅．…．（10分）
综上，当t≤0或t＞1时，不等式无解；
当0＜t＜1时，不等式的解集为{x|x＞

1-t t

或x＜-

1-t t

}．…（12分）

点评：本题主要考查函数奇偶性以及单调性的综合应用．在解决这一类型题目时，一般是先根据奇偶性把不等式转化，再利用单调性来解不等式．