Question

【题目】如图，四棱锥中，底面，为直角梯形，，，，，过点作平面平行于平面，平面与棱，，，分别相交于点，，，.

(1)求的长度；

(2)求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】试题分析：

（1）【法一】（Ⅰ）由面面平行的性质定理可得，，

则∽，由相似三角形的性质计算可得

【法二】由面面平行的性质定理可得，，

则∽，由题意结合余弦定理可得.

（2）建立空间直角坐标系，由题意可得平面的法向量为,平面的法向量则二面角的余弦值.

试题解析：

（1）【法一】（Ⅰ）因为平面，平面平面，

，平面平面，所以，同理，

因为∥，

所以∽，且，

所以，，

同理，

连接，则有∥，

所以，，所以，同理，，

过点作∥交于，则

【法二】因为平面，平面平面，,

平面平面，

根据面面平行的性质定理，所以，同理，

因为,所以，且,

又因为∽，,所以，

同理,，

如图：作,

所以，

故四边形为矩形，即,

在中,所以，所以.

（2）建立如图所示空间直角坐标系,

,设平面的法向量为,

,令，得,

因为平面平面，所以平面的法向量

，二面角的余弦值为