【题目】如图,四棱锥中,
底面
,
为直角梯形,
,
,
,
,过
点作平面
平行于平面
,平面
与棱
,
,
,
分别相交于点
,
,
,
.
(1)求的长度;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:
(1)【法一】(Ⅰ)由面面平行的性质定理可得,
,
则∽
,由相似三角形的性质计算可得
【法二】由面面平行的性质定理可得,
,
则∽
,由题意结合余弦定理可得
.
(2)建立空间直角坐标系,由题意可得平面的法向量为
,平面
的法向量
则二面角
的余弦值
.
试题解析:
(1)【法一】(Ⅰ)因为平面
,平面
平面
,
,平面
平面
,所以
,同理
,
因为∥
,
所以
∽
,且
,
所以,
,
同理,
连接,则有
∥
,
所以,
,所以
,同理,
,
过点作
∥
交
于
,则
【法二】因为平面
,平面
平面
,
,
平面平面
,
根据面面平行的性质定理,所以,同理
,
因为
,所以
,且
,
又因为∽
,
,所以
,
同理,
,
如图:作,
所以,
故四边形为矩形,即
,
在中,所以
,所以
.
(2)建立如图所示空间直角坐标系,
,设平面
的法向量为
,
,令
,得
,
因为平面平面
,所以平面
的法向量
,二面角
的余弦值为
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某中学随机选取了名男生,将他们的身高作为样本进行统计,得到如图所示的频率分布直方图,观察图中数据,完成下列问题.
()求
的值及样本中男生身高在
(单位:
)的人数.
()假设用一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,通过样本估计该校全体男生的平均身高.
()在样本中,从身高在
和
(单位:
)内的男生中任选两人,求这两人的身高都不低于
的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系,对该校200名高三学生平均每天课外体育锻炼时间进行调查,如表:(平均每天锻炼的时间单位:分钟)
平均每天锻炼的时间/分钟 | ||||||
总人数 | 20 | 36 | 44 | 50 | 40 | 10 |
将学生日均课外体育锻炼时间在的学生评价为“课外体育达标”.
(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表;
课外体育不达标 | 课外体育达标 | 合计 | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合计 |
(2)通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“课外体育达标”性别有关?
参考公式,其中
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在中,
,且
,若以
为左右焦点的椭圆
经过点
.
(1)求的标准方程;
(2)设过右焦点且斜率为
的动直线与
相交于
两点,探究在
轴上是否存在定点
,使得
为定值?若存在,试求出定值和点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系中,圆
的参数方程为
(
为参数),圆
与圆
外切于原点
,且两圆圆心的距离
,以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆和圆
的极坐标方程;
(2)过点的直线
与圆
异于点
的交点分别为点
,与圆
异于点
的交点分别为点
,且
,求四边形
面积的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知圆:
,过
且与圆
相切的动圆圆心为
.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)设过点的直线
交曲线
于
,
两点,过点
的直线
交曲线
于
,
两点,且
,垂足为
(
,
,
,
为不同的四个点).
①设,证明:
;
②求四边形的面积的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)若曲线与曲线
在公共点处有共同的切线,求实数
的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,试问函数是否有零点?如果有,求出该零点;若没有,请说明理由.
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