Question

1．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）部分图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的解析式及中心对称点；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）-cos2x，求函数g（x）在区间$x∈[0，\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由函数图象观察可知A，函数的周期T=2（$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=π，由周期公式可得ω，由点（$\frac{π}{6}$，2）在函数图象上，可得：2sin（2×$\frac{π}{6}$+φ）=2，解得φ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z结合范围|φ|≤$\frac{π}{2}$，即可求得φ的值，即可得解．
（2）由$x∈[0，\frac{π}{2}]$，可得2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，由正弦函数的性质可求g（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，从而得解．

解答 解：（1）由函数图象观察可知：A=1…（1分），
函数的周期T=2（$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=π，由周期公式可得：ω=$\frac{2π}{π}$=2…（2分）
由点（$\frac{π}{6}$，1）在函数图象上，可得：sin（2×$\frac{π}{6}$+φ）=1，可得：φ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z
∵|φ|≤$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$．…（4分）
∴f（x）的解析式为：f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）．由2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z可解得中心对称点为：（$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$，0）；…（6分）

（2）∵g（x）=f（x）-cos2x=sin（2x+$\frac{π}{6}$）-cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，…（8分）
∴g（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
故函数g（x）在区间$x∈[0，\frac{π}{2}]$上的最大值为1，最小值-$\frac{1}{2}$．…（12分）

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．